7  ファクターモデルの応用

ファクター・モデルの応用として、

  1. 資本コストの推定
  2. 平均分散ポートフォリオの構築方法

を学びます。

7.1 資本コストの推定

7.1.1 資本コストと割引率

株式での資金調達のケースを考えます。 配当割引モデルでi社の0時点における理論株価P^*_{i,0}を表すと、

P_{i,0} = \sum_{t=1}^{\infty} \frac{\mathbb{E}[ D_{i,t}]}{(1 + \widetilde{R}_i )^t}

となります。 この式より期待配当 \mathbb{E}[ D_{i,t}] が一定としたとき、資本コスト \widetilde{R}_i の上昇は理論株価の下落をもたらすことがわかります。 この資本コスト\widetilde{R}_iは、投資家がi社の株式に投資する際に要求する最低限のリターンを表しており、これをFF3モデルで推定しようとします。

6.3節で学習したように、Fama-Frenchの3ファクターモデルは、

  1. 市場ポートフォリオの超過リターン R_M^e
  2. 小型株と大型株の平均リターンの差であるサイズ・ファクター SMB
  3. バリュー株とグロース株の平均リターンの差であるバリュー・ファクター HML

の3つのファクターを用いて、資産のリターンを説明するモデルです。 このモデルを用いて、資本コスト\widetilde{R}_iを推定するための式は以下のようになります。 R^e_{i,t} = \beta_i^M R_{M,t}^{e} + \beta_i^{SMB} SMB_t + \beta_i^{HML} HML_t + \varepsilon_{i,t}

SMBとHMLの計算方法は、以下のようになります。

  1. 時価総額の中央値を基準に全ての株式を小型株グループと大型株グループに分けます。
  2. 簿価時価比率の上位30%をバリュー株グループ、下位30%をグロース株グループ、残りの40%をミドルグループに分けます。
  3. それぞれのグループごとに、時価総額加重ポートフォリオを作成します。

\widetilde{R}_i = \mathbb{E}[R_i^{FF3}] = R_F + \beta_i^M \mathbb{E}[R_M^e] + \beta_i^{SMB} \mathbb{E}[SMB] + \beta_i^{HML} \mathbb{E}[HML] ここで、R_Fは無リスク金利、\beta_i^Mはi社の市場リスクプレミアムに対する感応度、\mathbb{E}[R_M^e]は市場リスクプレミアムの期待値、\beta_i^{SMB}はi社のサイズファクターに対する感応度、\mathbb{E}[SMB]はサイズファクターの期待値、\beta_i^{HML}はi社のバリューファクターに対する感応度、\mathbb{E}[HML]はバリューファクターの期待値を表しています。

# パッケージの読み込み
pacman::p_load(
  tidyverse, # 便利なパッケージ群
  ggthemes, # ggplot2のテーマ集
  broom # モデルの整形
)
# グラフのスタイル設定
mystyle <- list(
  theme_economist_white(
    base_family = "HiraKakuProN-W3"
    ),
  scale_colour_economist(),
  theme(
    text = element_text(size = 12),
    axis.title = element_text(size = 12)
  )
)

7.2 平均分散ポートフォリオの構築

7.2.1 分散共分散行列の分解式

投資可能な資産の数をNとします。 資産iのリターンをR_iとすると、分散共分散行列\Sigmaは以下のように定義されます。

ここで、Var(R_i)は資産iのリターンの分散、Cov(R_i, R_j)は資産iとjのリターンの共分散を表し，それぞれ\sigma_i^2と\sigma_{i,j}と表記します。

\begin{aligned} \Sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{1,1}^2 & \sigma_{1,2} & \cdots & \sigma_{1,N} \\ \sigma_{2,1} & \sigma_{2,2}^2 & \cdots & \sigma_{2,N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma_{N,1} & \sigma_{N,2} & \cdots & \sigma_{N,N}^2 \end{pmatrix} \end{aligned}

この行列は対角要素が各資産のリターンの分散を表し、非対角要素が資産間の共分散を表しています。共分散は\sigma_{i,j} = \sigma_{j,i}であるため、分散共分散行列は対称行列となります。 つまり，行列の右上三角部分と左下三角部分は同じ値をもつため，この行列の要素の数は，N^2ではなくN(N+1)/2となります。

\begin{aligned} \Sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{1,1}^2 & & & \\ \sigma_{2,1} & \sigma_{2,2}^2 & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ \sigma_{N,1} & \sigma_{N,2} & \cdots & \sigma_{N,N}^2 \end{pmatrix} \end{aligned}

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