pacman::p_load(tidyverse, ggthemes)
df_tb <- read_csv("data/jgbcm_all.csv")
# df_tb |> names()6 CAPM
資本資産価格モデル(Capital Asset Pricing Model)
6.1 CAPM第1定理
マーケット・ポートフォリオ： 市場に供給されるすべての証券からなるポートフォリオ。 マーケット・ポートフォリオにおける各証券の供給額の比率は，全ての証券の時価総額： M = \sum _i X_i (ここで，X_i は第 i 証券の時価総額)に対する各証券の時価総額：X_i ，すなわち， w_i = \frac{X_i}{M} となる。
分離定理のもとで，投資家は安全資産と接点ポートフォリオの組み合わせによって最適なポートフォリオを選択する。このとき，効率的なポートフォリオである接点ポートフォリオは，すべての投資家で同一。
市場が均衡する状態(需要と供給が一致する)では，
「接点ポートフォリオ＝マーケット・ポートフォリオ」
\Rightarrow マーケット・ポートフォリオは効率的なポートフォリオ
- マーケット・ポートフォリオとして，実際にはTOPIXが用いられる。
6.2 資本市場線
- 効率的フロンティア上にあるポートフォリオの期待収益率のリスク(標準偏差)との関係を資本市場線(capital market line: CML)と呼ぶ。 資本市場線は， u_p = r_f + \underbrace{\frac{\mu_M - r_f}{\sigma_m}}_{\rlap{マーケット\\リスクの価格}} \times \sigma_p
で与えられる。1
ここで，\mu_M ： マーケット・ポートフォリオの期待リターン，\sigma _M : その標準偏差
6.3 ベータ
R_i : 証券 i のリターン，R_M : マーケット・ポートフォリオのリターンとするとき，証券 i のベータとは次の式で定義される。
\beta _i = \frac{\sigma _{i,M}}{\sigma _M^2} = \rho \frac{\sigma_i}{\sigma _M}
同様に，ポートフォリオ P のベータは
\beta_p \equiv \frac{\sigma_{p,M}}{\sigma_M^2} = \rho \frac{\sigma_p}{\sigma_M}
ベータはパラメータ！
6.4 ベータの推定
\beta_i を推定するために，CAPMより次のような推定式(回帰式)を想定する。
r_i - r_f = a_i + b_i (r_M - r_f) + \varepsilon
ここで，a_i は回帰直線の切片を，b_i は回帰直線の傾きを， \varepsilon_i は誤差を表す。
改めて，上の式を書き直すと，
Z_i = a_i + b_i Z_M + \varepsilon_i
ここで，Z_i \equiv r_i - r_f (証券 i のリスクプレミアム)であり，Z_M \equiv r_M - r_f (マーケット・ポートフォリオのリスクプレミアム)を意味する。
計量経済学の言葉でいうと，Z_i を被説明変数あるいは従属変数，Z_M および定数項を説明変数あるいは独立変数，とよぶ。
ベータの推定にあたり，資産 i の過去のリターン，安全資産の過去の利子率，マーケット・ポートフォリオの過去のリターンを用いて，実情を最もうまく反映する a_i と b_i を計算する。 このパラメータの推定方法の1つが最小自乗推定法(Orginal Least Squares: OLS)である。2 一定の条件下において，OLS推定量 b_i は不偏推定量かつ一致推定量となる。つまり最小二乗法による推定は，真のパラメータに収束する。
以下では，_R_を用いて非常に簡便的な方法によって，\beta_i を推定する。
6.4.1 ソニーのベータを求める。
必要なデータは，月次の株価，TOPIX，TBレートの3つである。 日経NEEDS社会科学情報検索の「株価」データから，ソニーコーポレーションの終値，TOPIXの月次データをを2013年4月から2024年3月までのデータを取得する。
基準日がS61.1.1のような形式なので，これを西暦に変換したい。
# 和暦の日付を変換する関数
convert_wareki_to_seireki <- function(date_str) {
# 和暦の日付を分割
date_parts <- str_split(date_str, "\\.", simplify = TRUE)
era <- substr(date_parts[1], 1, 1) # 元号 (S, H, R)
year <- as.numeric(substr(date_parts[1], 2, nchar(date_parts[1]))) # 和暦年
month <- as.numeric(date_parts[2]) # 月
day <- as.numeric(date_parts[3]) # 日
# 元号に応じて西暦を計算
if (era == "S") {
year <- 1925 + year # 昭和
} else if (era == "H") {
year <- 1988 + year # 平成
} else if (era == "R") {
year <- 2018 + year # 令和
} else {
stop(paste("対応していない元号です:", era))
}
# "YYYY.MM.DD" 形式に変換
return(sprintf("%04d.%02d.%02d", year, month, day))
}
# 「基準日」を変換
df_tb <- df_tb %>%
mutate(
基準日 = ymd(sapply(基準日, convert_wareki_to_seireki))
)df_tb <- df_tb |>
filter(基準日 >= 2014)
df_tb |> head()# A tibble: 6 × 16
基準日 `1年` `2年` `3年` `4年` `5年` `6年` `7年` `8年` `9年` `10年` `15年`
<date> <chr> <chr> <chr> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr> <chr>
1 1975-07-08 9.772 9.53 9.073 8.68 8.46 8.34 8.28 8.25 8.31 - -
2 1975-07-09 9.78 9.534 9.074 8.68 8.46 8.34 8.28 8.25 8.31 - -
3 1975-07-10 9.788 9.537 9.075 8.68 8.46 8.34 8.28 8.25 8.31 - -
4 1975-07-11 9.796 9.54 9.076 8.69 8.46 8.34 8.28 8.25 8.31 - -
5 1975-07-12 9.804 9.543 9.077 8.69 8.46 8.34 8.28 8.25 8.32 - -
6 1975-07-14 9.82 9.549 9.078 8.69 8.46 8.34 8.28 8.26 8.32 - -
# ℹ 4 more variables: `20年` <chr>, `25年` <chr>, `30年` <chr>, `40年` <chr>6.5 補論 : CAPM第2定理の証明
第1，第2資産がリスク資産，第3資産は安全資産という3資産からなるポートフォリオについて考える。
投資家の期待効用関数 U を次のように仮定する。 このように仮定できる正当性は，第5回資料を参照せよ。
U = \mu _ p - \frac{\gamma }{2} \sigma _ p^2 ここで，\gamma はリスク回避度係数である。
第1資産と第2資産および安全資産のリターンを，それぞれ R_1 ， R_2 ，r_f で表す。 またポートフォリオのリターン R_p を次式で表す。
R_p = \omega _1 R_1 + w_2 R_2 + w_3 r_f
ただし，w_1 + w_2 + w_3 = 1 である。
第1資産と第2資産の期待リターンをそれぞれ \mu_1 ， \mu_2 で表すと，ポートフォリオの期待リターン \mu_p は次のように表される。
\begin{aligned} \mu _p &= w_1 \mu_1 + w_2 \mu_2 + w_3 r_f \\ &= w_1 \mu_1 + w_2 \mu_2 + (1 - w_1 - w_2) r_f \\ &= w_1 (\mu_1 - r_f) + w_2 (\mu_2 - r_f) + r_f \end{aligned}
第1資産と第2資産のリターンの分散を，それぞれ \sigma^2_1 ， \sigma^2_2，共分散を \sigma_{12} で表すと，ポートフォリオのリターンの分散を \sigma ^2_p とする。
\begin{aligned} \sigma^2_p & \equiv \mathbb{E} [(R_p - \mu_p )^2]\\ &= \mathbb{E}[(w_1R_1 + w_2 R_2 + w_3 r_f - (w_1 \mu_1 + w_2 \mu_2 + w_3 r_f))^2]\\ &= \mathbb{E}[(w_1 (R_1 - \mu_1) + w_2(R_2 - \mu_2))^2]\\ &= \mathbb{E}[w_1^2 (R_1 - \mu_1)^2] + \mathbb{E}[w_2^2(R_1 - \mu_2 )^2] + \mathbb{E}[2 w_1 w_2 (R_1-\mu_1)(R_2 - \mu_2)]\\ &= w_1^2 \mathbb{E}[(R_1 - \mu_1)^2] + w_2^2 \mathbb{E}[(R_2 - \mu_2)^2] + 2 w_1 w_2 \mathbb{E}[(R_1-\mu_1)(R_2 - \mu_2)]\\ &= w_1^2 \sigma _1^2 + w_2^2 \sigma^2_2 + 2 w_1 w_2 \sigma _{12} \end{aligned}
ポートフォリオのリターンの期待値と分散を投資家の効用関数に代入する。
U = w_1 (\mu_1 - r_f) + w_2 (\mu_2 - r_f) + r_f - \frac{\gamma}{2} (w_1^2 \sigma^2_1 + w_2^2 \sigma^2_2 + 2 w_1 w_2 \sigma_{12})
最適化の1階条件を確認する。
\begin{aligned} \frac{\partial U}{\partial w_1} = ( \mu_1 - r_f) - \gamma (w_1 \sigma^2_1 + w_2 \sigma_{12}) &= 0\\ \frac{\partial U}{\partial w_2} = ( \mu_2 - r_f) - \gamma (w_2 \sigma^2_2 + w_1 \sigma_{12}) &= 0 \end{aligned}
ここで，
\begin{aligned} \mathbb{Cov}(R_1, R_M) &= \mathbb{Cov}(R_1, w_1 R_1 + w_2 R_2 + w_3 r_f)\\ &= \mathbb{Cov}(R_1, w_1 R_1) + \mathbb{Cov}(R_1, w_2 R_2) + \mathbb{Cov}(R_1, w_3 r_f)\\ &= w_1 \mathbb{Cov}(R_1, R_1) + w_2 \mathbb{Cov}(R_1, R_2) + w_3 \mathbb{Cov}(R_1, r_f)\\ &= w_1 \sigma^2_1 + w_2 \sigma_{12} \end{aligned}
同様に，
\mathbb{Cov}(R_2, R_M) = w_2 \sigma^2_2 + w_1 \sigma_{12}
となる。 これらを最適化の1階条件の式に代入すると，
\begin{aligned} \mu_1 - r_f &= \gamma \mathbb{Cov}(R_1, R_M)\\ \mu_2 - r_f &= \gamma \mathbb{Cov}(R_2, R_M) \end{aligned}
ここで N 資産のケースにおいても，任意の資産あるいはポートフォリオにおいて，この式は成立する。またマーケット・ポートフォリオについても成立する。 すなわち，
(\mu_M - r_f) = \gamma \mathbb{Cov}(R_M, R_M) = \gamma \sigma ^2_M
これらのからリスク回避度 \gamma を消去すると，
(\mu_i - r_f) = \frac{\mathbb{Cov}(R_i, R_M)}{\sigma ^2_M} (\mu_M - r_f) = \beta_i (\mu_M - r_f), \quad \text{for} \quad i = 1,2